LA RECTA
Una recta es una sucesión infinita de puntos, situados en
una misma dirección.
Una recta tiene una sola dimensión: la longitud.
Las rectas se nombran mediante dos de sus puntos o por una
letra minúscula. Dos puntos determinan una recta.
Una recta indica una dirección y dos sentidos contrarios.
Clases de recta
·
Secantes
Las rectas secantes se cortan en un punto.
·
Paralelas
Las rectas paralelas no se cortan en ningún
punto.
·
Coincidentes
Dos rectas son coincidentes si todos sus
puntos son comunes.
·
Perpendiculares
Dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse forman
cuatro ángulos iguales de 90º.
Ecuación de la recta
La recta se puede entender como un conjunto infinito de
puntos alineados en una única dirección. Vista en un plano, una recta puede ser
horizontal, vertical o diagonal (inclinada a la izquierda o a la derecha).
La línea de la derecha podemos
verla, pero a partir de los datos que nos entrega la misma línea (par de coordenadas para A y par de
coordenadas para B en el plano cartesiano) es que podemos
encontrar una expresión algebraica (una función) que determine a esa misma
recta.
El nombre que recibe la
expresión algebraica (función) que determine a una recta dada se denomina Ecuación de la Recta.
Ecuación general de la recta
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Afianza los conceptos del tema ver video
Esta es una de las formas de
representar la ecuación de la recta. De acuerdo a uno de los postulados de la
Geometría Euclidiana, para determinar una línea recta sólo es necesario conocer
dos puntos (A y B) de un plano (en un plano cartesiano), con abscisas (x) y
ordenadas (y). Ahora bien, conocidos esos dos puntos, todas las rectas del
plano, sin excepción, quedan incluidas en la ecuación.
Ax
+ By + C = 0
·
Teorema: La ecuación general de primer grado Ax + By + C = 0, donde A, B, C pertenecen a los números reales (Є R);
y en qué A y B no son simultáneamente nulos, representa una línea
recta.
·
Ecuación
principal de la recta
Esta
es otra de las formas de representar la ecuación de la recta. Pero antes de
entrar en la ecuación principal de la recta conviene recordar lo siguiente:
Cada
punto (x, y) que pertenece a una recta se puede representar en un sistema de
coordenadas, siendo x el valor de la abscisa (horizontal) e y el valor de la
ordenada (vertical).
(X, Y) = (Abscisa, Ordenada)
Ejemplo:
El punto (–3, 5) tiene por abscisa –3 y por ordenada 5. Si un par de valores
(x, y) pertenece a la recta, se dice que ese punto satisface la ecuación.
Ejemplo: El punto (7, 2) (el 7 en la
abscisa x y el 2 en la ordenada y) satisface la ecuación y = x – 5, ya que al
reemplazar queda
2 = 7 – 5 lo que resulta verdadero.
Recordado
lo anterior, veamos ahora la ecuación de la recta que pasa solo por un punto
conocido y cuya pendiente (de la recta) también se conoce, que se obtiene con
la fórmula
y = mx + b
Que
considera las siguientes variables: un punto (x, y), la pendiente (m)
y el punto de intercepción en la ordenada (b),
y es conocida como ecuación principal de la recta. Al representar la ecuación
de la recta en su forma principal vemos que aparecieron dos nuevas variables:
la m y la b, esto agrega a nuestra ecuación de la recta dos nuevos elementos
que deben considerase al analizar o representar una recta: la pendiente y el punto de
intercepción (también llamado intercepto) en el eje de las ordenadas (y).
·
Forma simplificada de la ecuación de la
recta: Si se conoce la pendiente m, y el punto donde la recta corta al eje
de ordenadas es (0, b) (corresponde a n en la fórmula principal ya vista),
podemos deducir, partiendo de la ecuación de la recta de la forma.
y − y1 = m(x − x1)
y – b = m(x – 0)
y – b = mx
y = mx + b
o
Ejemplo:
Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente m = 3 e intercepto b = 10.
Tenemos que hallar la ecuación de la recta, esto es, y = mx
+ b. Usamos la información que tenemos:
m = 3 y b = 10 y sustituimos en la ecuación y = 3x +
10.
La ecuación que se pide es y = 3x + 10.
Nótese que esta forma principal (simplificada o explícita)
también podemos expresarla como una ecuación general:
y – 3x – 10 = 0, la
cual amplificamos por –1, quedando como
– y + 3x + 10 = 0,
que luego ordenamos, para quedar
3x – y + 10 =
0
Pendiente de una Recta
Con respecto a la
pendiente es necesario conocer los siguientes enunciados:
·
Las rectas paralelas tienen la misma pendiente.
Si una recta tiene pendiente m = – 3 y es paralela a otra, entonces esa otra
también tiene pendiente m = – 3.
·
Las rectas perpendiculares tienen pendientes
recíprocas y opuestas. Si una recta tiene pendiente m = – 5 y es perpendicular
a otra, entonces esa otra tiene pendiente 5.
·
Si m = 0 la recta es
horizontal (paralela al eje x). Si y = 0, la recta es perpendicular. Si n = 0
la recta pasa por el origen.
Determinar
la pendiente
Afianza los conceptos del tema ver video
Aprendido lo anterior
es muy fácil hallar la ecuación de la recta que pasa por un punto y tiene una
pendiente dada, o para hallar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Si
nos dicen, por ejemplo, que una recta tiene una pendiente de 2 y que pasa por
el punto (1, 3), sólo tenemos que sustituir estos valores en la ecuación principal
y nos quedaría:
3 = 2 · 1 + b, y
despejando b, queda b = 1.
Por lo tanto, la
ecuación de esa recta será: y = 2x + 1.
Si nos dicen que la recta pasa por el punto (1, 3) y (2,
5), sólo tenemos que sustituir estos valores en la ecuación principal y obtendremos
dos ecuaciones con dos incógnitas:
3 = m · 1 + b,
5 = m · 2 + b.
Ahora, Cuando se
tienen dos puntos de una recta P1 (x1,
y1) y P2 (x2, y2), la pendiente,
que es siempre constante, queda determinada por el cociente entre la diferencia
de las ordenadas de esos dos puntos y la diferencia de las abscisas de los
mismos puntos, o sea, con la fórmula.
Entonces, a partir de
esta fórmula de la pendiente se puede también obtener la ecuación de la recta,
con la fórmula:
y
– y1 = m(x – x1)
Esta forma de obtener
la ecuación de una recta se suele utilizar cuando se conocen su pendiente y las
coordenadas de uno solo de sus puntos.
Entonces, la ecuación
de la recta que pasa por el punto P1 =
(x1, y1) y tiene la pendiente dada m, se establece de la siguiente manera:
y
– y1 = m(x – x1)
Ejemplo: Hallar la ecuación
de la recta que pasa por el punto A (2, – 4) y que tiene una pendiente de – 1/3. Al sustituir los datos en la ecuación,
resulta lo siguiente:
y – y1 = m(x – x1)
y – (–4) = – 1/3(x – 2)
3(y + 4) = –1(x – 2)
3y + 12 = –x + 2
3y +12 + x – 2 = 0
3y + x + 10 = 0
x + 3y + 10 = 0
Volviendo a la ecuación general de la recta (Ax + By + C = 0), en ella la pendiente (m) y el coeficiente de posición (b) quedan determinados por:
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FORMULAS
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TALLER EN CLASE
1.
Calcular la pendiente de los segmentos
determinados por los siguientes pares de puntos:
·
(3,2) y (5,4)
2.
Calcular la distancia entre los siguientes
puntos:
·
(6,5) y (2,-3)
3.
Hallar el punto medio del segmento de recta que
une los siguientes puntos.
·
(-2,4) y (4,1)
4.
Calcular
la distancia entre los puntos y las rectas dadas:
·
(5,3) y 3x - 2y + 1 = 0
5. Obtener
en forma general la ecuación de la recta que pasa por los puntos.
·
(-2,5) y (3,-4)
6. Obtener
la ecuación principal de la recta que pasa por los puntos.
a.
(0,0) y (1,6)
7. Obtener
en forma general la ecuación de la recta que pasa por el punto (-1,2) y pendiente
es -3.
8. Señale
si las siguientes ecuaciones son paralelas o perpendiculares
·
6x-2y- 1=0 y 3x-y+2=0.
9. Obtener
en forma general la ecuación de la recta que satisfaga la condición dada.
·
Pasa por el punto (2,1) y su pendiente sea 12
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TALLER EN CASA
Nota: Desarrollar el taller en
hojas cuadriculadas, hoja de portada y carpeta blanca.
1.
Calcular la pendiente de los segmentos
determinados por los siguientes pares de puntos:
a.
(4,1) y (6,3) b.
(-2,-5) y (-7, 5) c. (5,-1)
y (-5, 6)
2.
Calcular la distancia entre los siguientes
puntos:
a. (4,5) y (-1,1) c. (7,3) y (-1,-2) c. (0,9) y (0,-3)
3. Hallar
el punto medio del segmento de recta que une los siguientes puntos:
a. (-8,5) y (-1,0) b. (5,2) y (-10,0) c. (0,7) y (0,11)
4. Calcular
la distancia entre los puntos y las rectas dadas:
a. (1,4) y
5x-2y+8=0 b. (-5,-3) y 2x - 6y +
9 =0
5. Obtener
en forma general la ecuación de la recta que pasa por los puntos.
b.
(3,5) y (-1,2) c.
(5,7) y (3,9)
6. Obtener
la ecuación principal de la recta que pasa por los puntos.
a.
(1,6) (b) (1,2) y (0,5) b. (-3,1) y
(-2,3)
7.
Obtener en forma general la ecuación de la recta
que pasa por el punto (1,-2) y pendiente es 3.
8.
Señale si las siguientes ecuaciones son
paralelas o perpendiculares 6x-2y- 1=0 y 3x-y+2=0
9.
Señale si las siguientes ecuaciones son
paralelas o perpendiculares 3x-2y+ 10=0 y 2x+3y+3=0
10.
Dada la recta: kx- y= k+ 3, determine un valor
de k para que el punto (3, 7) pertenezca a dicha recta.
11.
Obtener en forma general la ecuación de la recta
que satisfaga la condición dada.
a.
Pasa por el punto (2,1) y su pendiente sea 12
b.
Pasa por el punto (3,5) y es paralela a la recta
x+ 3y+ 1=0.
c.
Pasa por el punto (-5,-2) y es perpendicular a
la recta 5x-3y=4
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