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martes, 10 de febrero de 2015

Permutaciones





  1. Permutaciones sin repetición
  2. Permutaciones con repetición
  3. Repaso General COMBINATORIA - PERMUTACIÓN - VARIACIÓN – COMBINACIÓN.






domingo, 8 de febrero de 2015

Diagrama de Venn




Lista de Reproducción

1. Diagrama de Venn

Medidas de tendencia central







Lista de Reproducción



  1. Medidas de tendencia central. Ejemplo 1
  2. Medidas de tendencia central: moda, media y mediana. Ejemplo 2

Lógica de Conjuntos



Lista de Reproducción

  1. ¿Qué es la lógica?
  2. Cálculo proposicional
  3. Conectores lógicos y tablas de verdad
  4. Conjunción lógica
  5. Disyunción lógica
  6. Implicación lógica
  7. Equivalencia lógica
  8. Tablas de verdad para más de dos conectores lógicos
  9. Cómo convertir una proposición al lenguaje simbólico
  10. Convertir una proposición en el lenguaje simbólico a una prop. escrita
  11. Equivalencias lógicas de conmutabilidad, asociatividad y distribución
  12. Equivalencias lógicas de negación, el contrarrecíproco y la doble implicación
  13. Reglas de inferencia

sábado, 7 de febrero de 2015

Circunferencia





Lista de Reproducción

  1. Ecuación general de la circunferencia
  2. Graficar una circunferencia a partir de su ecuación general
  3. Hallar la ecuación de una circunferencia que pasa por tres puntos dados
  4. Ecuación de la circunferencia con dos puntos y centro sobre una recta dada

domingo, 1 de febrero de 2015

LA RECTA

LA RECTA

Una recta es una sucesión infinita de puntos, situados en una misma dirección.

Una recta tiene una sola dimensión: la longitud.


Las rectas se nombran mediante dos de sus puntos o por una letra minúscula. Dos puntos determinan una recta.

Una recta indica una dirección y dos sentidos contrarios.

Clases de recta
·         Secantes


Las rectas secantes se cortan en un punto. 

·         Paralelas

Las rectas paralelas no se cortan en ningún punto.
·         Coincidentes

Dos rectas son coincidentes si todos sus puntos son comunes.

·         Perpendiculares


Dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse forman cuatro ángulos iguales de 90º.

Ecuación de la recta
La recta se puede entender como un conjunto infinito de puntos alineados en una única dirección. Vista en un plano, una recta puede ser horizontal, vertical o diagonal (inclinada a la izquierda o a la derecha).
La línea de la derecha podemos verla, pero a partir de los datos que nos entrega la misma línea  (par de coordenadas para A y par de coordenadas para B en el plano cartesiano) es que podemos encontrar una expresión algebraica (una función) que determine a esa misma recta.

El nombre que recibe la expresión algebraica (función) que determine a una recta dada se denomina Ecuación de la Recta.




Ecuación general de la recta    
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Esta es una de las formas de representar la ecuación de la recta. De acuerdo a uno de los postulados de la Geometría Euclidiana, para determinar una línea recta sólo es necesario conocer dos puntos (A y B) de un plano (en un plano cartesiano), con abscisas (x) y ordenadas (y). Ahora bien, conocidos esos dos puntos, todas las rectas del plano, sin excepción, quedan incluidas en la ecuación.

Ax + By + C = 0

·         Teorema: La ecuación general de primer grado Ax + By + C = 0, donde A, B, C pertenecen a los números reales (Є R);  y en qué A y B no son simultáneamente nulos, representa una línea recta.
·          
Ecuación principal de la recta
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Esta es otra de las formas de representar la ecuación de la recta. Pero antes de entrar en la ecuación principal de la recta conviene recordar lo siguiente:
Cada punto (x, y) que pertenece a una recta se puede representar en un sistema de coordenadas, siendo x el valor de la abscisa (horizontal) e y el valor de la ordenada (vertical).
(X, Y) = (Abscisa, Ordenada)
Ejemplo: El punto (–3, 5) tiene por abscisa –3 y por ordenada 5. Si un par de valores (x, y) pertenece a la recta, se dice que ese punto satisface la ecuación.

Ejemplo: El punto (7, 2) (el 7 en la abscisa x y el 2 en la ordenada y) satisface la ecuación y = x – 5, ya que al reemplazar queda
2 = 7 – 5 lo que resulta verdadero.
Recordado lo anterior, veamos ahora la ecuación de la recta que pasa solo por un punto conocido y cuya pendiente (de la recta) también se conoce, que se obtiene con la fórmula
y = mx + b
Que considera las siguientes variables: un punto (x, y), la pendiente (m) y el punto de intercepción en la ordenada (b), y es conocida como ecuación principal de la recta. Al representar la ecuación de la recta en su forma principal vemos que aparecieron dos nuevas variables: la m y la b, esto agrega a nuestra ecuación de la recta dos nuevos elementos que deben considerase al analizar o representar una recta: la pendiente y el punto de intercepción (también llamado intercepto) en el eje de las ordenadas (y).
·         Forma simplificada de la ecuación de la recta: Si se conoce la pendiente m, y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es (0, b) (corresponde a n en la fórmula principal ya vista), podemos deducir, partiendo de la ecuación de la recta de la forma.


y − y1 = m(x − x1)
y – b  = m(x – 0)
y – b = mx
y = mx + b


o   



            Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente m = 3 e intercepto b = 10.
Tenemos que hallar la ecuación de la recta, esto es, y = mx + b. Usamos la información que tenemos:

m = 3  y  b = 10 y sustituimos en la ecuación y = 3x + 10.
La ecuación que se pide es y = 3x + 10.

Nótese que esta forma principal (simplificada o explícita) también podemos expresarla como una ecuación general:

y – 3x – 10 = 0, la cual amplificamos por –1, quedando como
– y + 3x + 10 = 0, que luego ordenamos, para quedar
3x – y  +  10 = 0  

Pendiente de una Recta

Con respecto a la pendiente es necesario conocer los siguientes enunciados:

·         Las rectas paralelas tienen la misma pendiente. Si una recta tiene pendiente m = – 3 y es paralela a otra, entonces esa otra también tiene pendiente m = – 3.

·         Las rectas perpendiculares tienen pendientes recíprocas y opuestas. Si una recta tiene pendiente m = – 5 y es perpendicular a otra, entonces esa otra tiene pendiente 5.

·         Si m = 0 la recta es horizontal (paralela al eje x). Si y = 0, la recta es perpendicular. Si n = 0 la recta pasa por el origen.


Determinar la pendiente

 Afianza los conceptos del tema ver video
Aprendido lo anterior es muy fácil hallar la ecuación de la recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada, o para hallar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Si nos dicen, por ejemplo, que una recta tiene una pendiente de 2 y que pasa por el punto (1, 3), sólo tenemos que sustituir estos valores en la ecuación principal y nos quedaría:

3 = 2 · 1 + b, y despejando b, queda b = 1.
Por lo tanto, la ecuación de esa recta será: y = 2x + 1.

Si nos dicen que la recta pasa por el punto (1, 3) y (2, 5), sólo tenemos que sustituir estos valores en la ecuación principal y obtendremos dos ecuaciones con dos incógnitas:
3 = m · 1 + b,
5 = m · 2 + b.

Ahora, Cuando se tienen dos puntos de una recta P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2), la pendiente, que es siempre constante, queda determinada por el cociente entre la diferencia de las ordenadas de esos dos puntos y la diferencia de las abscisas de los mismos puntos, o sea, con la fórmula.




Entonces, a partir de esta fórmula de la pendiente se puede también obtener la ecuación de la recta, con la fórmula:
y – y1 = m(x – x1)

Esta forma de obtener la ecuación de una recta se suele utilizar cuando se conocen su pendiente y las coordenadas de uno solo de sus puntos.


Entonces, la ecuación de la recta que pasa por el punto P1 = (x1,  y1)  y tiene la pendiente dada m,  se establece de la siguiente manera:

y – y1 = m(x – x1)

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (2, – 4) y que tiene una pendiente de  – 1/3. Al sustituir los datos en la ecuación, resulta lo siguiente:

y – y1 = m(x – x1)
y – (–4) = – 1/3(x – 2)
3(y + 4) = –1(x – 2)
3y + 12 = –x + 2
3y +12 + x – 2 = 0
3y + x + 10 = 0
x + 3y + 10 = 0

Volviendo a la ecuación general de la recta (Ax + By + C = 0), en ella la pendiente (m) y el coeficiente de posición (b) quedan determinados por:



FORMULAS

 

TALLER EN CLASE
1.       Calcular la pendiente de los segmentos determinados por los siguientes pares de puntos:
·         (3,2) y (5,4)
2.       Calcular la distancia entre los siguientes puntos:
·         (6,5) y (2,-3)
3.       Hallar el punto medio del segmento de recta que une los siguientes puntos.
·         (-2,4) y (4,1)
4.        Calcular la distancia entre los puntos y las rectas dadas:
·         (5,3) y 3x - 2y + 1 = 0
5.       Obtener en forma general la ecuación de la recta que pasa por los puntos.
·         (-2,5) y (3,-4)
6.       Obtener la ecuación principal de la recta que pasa por los puntos.
a.        (0,0) y (1,6)
7.       Obtener en forma general la ecuación de la recta que pasa por el punto (-1,2) y pendiente es -3.
8.       Señale si las siguientes ecuaciones son paralelas o perpendiculares
·         6x-2y- 1=0 y 3x-y+2=0.
9.       Obtener en forma general la ecuación de la recta que satisfaga la condición dada.
·         Pasa por el punto (2,1) y su pendiente sea 12
TALLER EN CASA
Nota: Desarrollar el taller en hojas cuadriculadas, hoja de portada y carpeta blanca.

1.       Calcular la pendiente de los segmentos determinados por los siguientes pares de puntos:
a.        (4,1) y (6,3)                  b. (-2,-5) y (-7, 5)                 c. (5,-1) y (-5, 6)
2.       Calcular la distancia entre los siguientes puntos:
a. (4,5) y (-1,1)                     c. (7,3) y (-1,-2)                    c. (0,9) y (0,-3)
3.       Hallar el punto medio del segmento de recta que une los siguientes puntos:
a. (-8,5) y (-1,0)                    b. (5,2) y (-10,0)                  c. (0,7) y (0,11)
4.       Calcular la distancia entre los puntos y las rectas dadas:
a. (1,4) y 5x-2y+8=0           b. (-5,-3) y 2x - 6y + 9 =0
5.       Obtener en forma general la ecuación de la recta que pasa por los puntos.
b. (3,5) y (-1,2)                     c. (5,7) y (3,9)
6.       Obtener la ecuación principal de la recta que pasa por los puntos.
a. (1,6) (b) (1,2) y (0,5)       b. (-3,1) y (-2,3)
7.       Obtener en forma general la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,-2) y pendiente es 3.
8.       Señale si las siguientes ecuaciones son paralelas o perpendiculares 6x-2y- 1=0 y 3x-y+2=0
9.       Señale si las siguientes ecuaciones son paralelas o perpendiculares 3x-2y+ 10=0 y 2x+3y+3=0
10.    Dada la recta: kx- y= k+ 3, determine un valor de k para que el punto (3, 7) pertenezca a dicha recta.
11.    Obtener en forma general la ecuación de la recta que satisfaga la  condición dada.
a.        Pasa por el punto (2,1) y su pendiente sea 12
b.       Pasa por el punto (3,5) y es paralela a la recta x+ 3y+ 1=0.
c.        Pasa por el punto (-5,-2) y es perpendicular a la recta 5x-3y=4

ENLACES

·         http://www.tareasplus.com
·         http://www.ditutor.com

Nota: Los textos y videos utilizados en este blog se tomaron de sitios especializados. Les agradecemos a los creadores por su dedicación, profesionalismos y aporte a la educación.


TRIANGULOS: Teoremas, axiomas y postulados

1. Teoremas, axiomas y postulados

AXIOMA
Un axioma es un enunciado simple que se acepta como una verdad universal aplicables a todas las ciencias, en geometría, particularmente, son enunciados intuitivamente evidentes. En matemática se distinguen dos tipos de axiomas: axiomas lógicos y axiomas no-lógicos.

Ejemplo: “Cosas iguales a una tercera son iguales entre sí”

POSTULADO
Un postulado es un hecho no comprobable que se convierte en una verdad tácitamente aceptada. Regularmente se identifica como parte de los fundamentos de la estructura de alguna rama de las matemáticas, es decir, es la primera afirmación lógica a partir de la cual se derivaran todas las demás afirmaciones lógicas como consecuencia de una deducción o inducción.
Ejemplo: “Un segmento de una recta puede ser construido en cualquier dirección a los largo de una línea recta”

TEOREMA
Un teorema es una afirmación que puede ser demostrada dentro de un sistema formal. Demostrar teoremas es un asunto central en la lógica y la matemática. Un teorema generalmente posee un número de premisas que deben ser numeradas o aclar

Nota: Cuando un enunciado requiere ser demostrado se llama Teorema.


La Demostración es un razonamiento que se hace para probar que un enunciado es verdadero y se clasifican en Método Directo y Método Indirecto.

Método Directo: consiste en partir de la hipótesis y llegar a la conclusión.
Método Indirecto: Parte de la negación de la conclusión para llegar a la negación de la hipótesis.


Ejemplo: El enunciado denominado “Disección Perigal” para el teorema de Pitágoras es: “En los triángulos rectángulos el cuadrado del lado que subtiende el ángulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo recto.  (Matemático Ingles Henry Perigal)

Comprueba de manera sencilla el enunciado del teorema de Pitágoras Ver animación

2. ÁNGULOS

Un ángulo es la unión de dos semirrectas, que tienen un punto común. Las semirrectas son los lados del ángulo y el punto común el vértice del ángulo.



Afianza el tema – ver video


El tema del ángulo y su clasificación se debe revisar en detalle el Libro de Matemáticas Santillana Grado Octavo Páginas 256 y 257. 

TALLER EN CLASE
1.       Indica si es verdades o falsa cada afirmación.
a.        Los postulados son enunciados que deben comprobarse.
b.       Los axiomas son afirmaciones aceptadas como verdaderas.
c.        Un axioma es igual a un postulado.
d.       Los teoremas se demuestran empelando el método deductivo.
e.       Un teorema puede ser demostrado a partir de axiomas y postulados.

2.       Identifica si los siguientes enunciados son axiomas, postulados o teoremas
a)       Un plano contienen al menos tres puntos distintos no colineales.
b)       Por un punto exterior a una recta pasa una y solo una recta paralela a la recta dada.
c)       Si dos rectas distintas se intersecan

3.       Realizar los ejercicios del 1 al 10  y 17 al 20 de la página 258 del Libro de Matemática Grado Octavo Santillana

Nota: Desarrollar el taller en el cuaderno de geometría


Clasificación de los ángulos – Afianza el conocimiento del tema – Ver Video


TALLER EN CASA
1.       Realizar los ejercicios del 11 al 16 y  21 al 30 de la página 258 del Libro de Matemática Grado Octavo Santillana.
Nota: Desarrollar el taller en hojas cuadriculadas, hoja de portada y carpeta blanca. 



ENLACES

·         http://santillanaplus.com.co
·         http://www.tareasplus.com
·         http://www.buenastareas.com

Nota: Los textos y videos utilizados en este blog se tomaron de libros y sitios especializados. Les agradecemos a los creadores por su dedicación, profesionalismos y aporte a la edición.