- Permutaciones sin repetición
- Permutaciones con repetición
- Repaso General COMBINATORIA - PERMUTACIÓN - VARIACIÓN – COMBINACIÓN.
Matemáticas Click es un proyecto del Gimnasio Contemporáneo para apoyar el proceso de los grados 8, 9,10 y 11 en el área de las matemáticas (Asignaturas Estadística y Geometría)
martes, 10 de febrero de 2015
Permutaciones
domingo, 8 de febrero de 2015
Medidas de tendencia central
Lista de Reproducción
- Medidas de tendencia central. Ejemplo 1
- Medidas de tendencia central: moda, media y mediana. Ejemplo 2
Lógica de Conjuntos
Lista de Reproducción
- ¿Qué es la lógica?
- Cálculo proposicional
- Conectores lógicos y tablas de verdad
- Conjunción lógica
- Disyunción lógica
- Implicación lógica
- Equivalencia lógica
- Tablas de verdad para más de dos conectores lógicos
- Cómo convertir una proposición al lenguaje simbólico
- Convertir una proposición en el lenguaje simbólico a una prop. escrita
- Equivalencias lógicas de conmutabilidad, asociatividad y distribución
- Equivalencias lógicas de negación, el contrarrecíproco y la doble implicación
- Reglas de inferencia
sábado, 7 de febrero de 2015
Circunferencia
Lista de Reproducción
- Ecuación general de la circunferencia
- Graficar una circunferencia a partir de su ecuación general
- Hallar la ecuación de una circunferencia que pasa por tres puntos dados
- Ecuación de la circunferencia con dos puntos y centro sobre una recta dada
domingo, 1 de febrero de 2015
LA RECTA
LA RECTA
Una recta es una sucesión infinita de puntos, situados en
una misma dirección.
Una recta tiene una sola dimensión: la longitud.
Las rectas se nombran mediante dos de sus puntos o por una
letra minúscula. Dos puntos determinan una recta.
Una recta indica una dirección y dos sentidos contrarios.
Clases de recta
·
Secantes
Las rectas secantes se cortan en un punto.
·
Paralelas
Las rectas paralelas no se cortan en ningún
punto.
·
Coincidentes
Dos rectas son coincidentes si todos sus
puntos son comunes.
·
Perpendiculares
Dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse forman
cuatro ángulos iguales de 90º.
Ecuación de la recta
La recta se puede entender como un conjunto infinito de
puntos alineados en una única dirección. Vista en un plano, una recta puede ser
horizontal, vertical o diagonal (inclinada a la izquierda o a la derecha).
La línea de la derecha podemos
verla, pero a partir de los datos que nos entrega la misma línea (par de coordenadas para A y par de
coordenadas para B en el plano cartesiano) es que podemos
encontrar una expresión algebraica (una función) que determine a esa misma
recta.
El nombre que recibe la
expresión algebraica (función) que determine a una recta dada se denomina Ecuación de la Recta.
Ecuación general de la recta
Afianza los conceptos del tema ver video
Esta es una de las formas de
representar la ecuación de la recta. De acuerdo a uno de los postulados de la
Geometría Euclidiana, para determinar una línea recta sólo es necesario conocer
dos puntos (A y B) de un plano (en un plano cartesiano), con abscisas (x) y
ordenadas (y). Ahora bien, conocidos esos dos puntos, todas las rectas del
plano, sin excepción, quedan incluidas en la ecuación.
Ax
+ By + C = 0
·
Teorema: La ecuación general de primer grado Ax + By + C = 0, donde A, B, C pertenecen a los números reales (Є R);
y en qué A y B no son simultáneamente nulos, representa una línea
recta.
·
Ecuación
principal de la recta
Esta
es otra de las formas de representar la ecuación de la recta. Pero antes de
entrar en la ecuación principal de la recta conviene recordar lo siguiente:
Cada
punto (x, y) que pertenece a una recta se puede representar en un sistema de
coordenadas, siendo x el valor de la abscisa (horizontal) e y el valor de la
ordenada (vertical).
(X, Y) = (Abscisa, Ordenada)
Ejemplo:
El punto (–3, 5) tiene por abscisa –3 y por ordenada 5. Si un par de valores
(x, y) pertenece a la recta, se dice que ese punto satisface la ecuación.
Ejemplo: El punto (7, 2) (el 7 en la
abscisa x y el 2 en la ordenada y) satisface la ecuación y = x – 5, ya que al
reemplazar queda
2 = 7 – 5 lo que resulta verdadero.
Recordado
lo anterior, veamos ahora la ecuación de la recta que pasa solo por un punto
conocido y cuya pendiente (de la recta) también se conoce, que se obtiene con
la fórmula
y = mx + b
Que
considera las siguientes variables: un punto (x, y), la pendiente (m)
y el punto de intercepción en la ordenada (b),
y es conocida como ecuación principal de la recta. Al representar la ecuación
de la recta en su forma principal vemos que aparecieron dos nuevas variables:
la m y la b, esto agrega a nuestra ecuación de la recta dos nuevos elementos
que deben considerase al analizar o representar una recta: la pendiente y el punto de
intercepción (también llamado intercepto) en el eje de las ordenadas (y).
·
Forma simplificada de la ecuación de la
recta: Si se conoce la pendiente m, y el punto donde la recta corta al eje
de ordenadas es (0, b) (corresponde a n en la fórmula principal ya vista),
podemos deducir, partiendo de la ecuación de la recta de la forma.
y − y1 = m(x − x1)
y – b = m(x – 0)
y – b = mx
y = mx + b
o
Ejemplo:
Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente m = 3 e intercepto b = 10.
Tenemos que hallar la ecuación de la recta, esto es, y = mx
+ b. Usamos la información que tenemos:
m = 3 y b = 10 y sustituimos en la ecuación y = 3x +
10.
La ecuación que se pide es y = 3x + 10.
Nótese que esta forma principal (simplificada o explícita)
también podemos expresarla como una ecuación general:
y – 3x – 10 = 0, la
cual amplificamos por –1, quedando como
– y + 3x + 10 = 0,
que luego ordenamos, para quedar
3x – y + 10 =
0
Pendiente de una Recta
Con respecto a la
pendiente es necesario conocer los siguientes enunciados:
·
Las rectas paralelas tienen la misma pendiente.
Si una recta tiene pendiente m = – 3 y es paralela a otra, entonces esa otra
también tiene pendiente m = – 3.
·
Las rectas perpendiculares tienen pendientes
recíprocas y opuestas. Si una recta tiene pendiente m = – 5 y es perpendicular
a otra, entonces esa otra tiene pendiente 5.
·
Si m = 0 la recta es
horizontal (paralela al eje x). Si y = 0, la recta es perpendicular. Si n = 0
la recta pasa por el origen.
Determinar
la pendiente
Afianza los conceptos del tema ver video
Aprendido lo anterior
es muy fácil hallar la ecuación de la recta que pasa por un punto y tiene una
pendiente dada, o para hallar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Si
nos dicen, por ejemplo, que una recta tiene una pendiente de 2 y que pasa por
el punto (1, 3), sólo tenemos que sustituir estos valores en la ecuación principal
y nos quedaría:
3 = 2 · 1 + b, y
despejando b, queda b = 1.
Por lo tanto, la
ecuación de esa recta será: y = 2x + 1.
Si nos dicen que la recta pasa por el punto (1, 3) y (2,
5), sólo tenemos que sustituir estos valores en la ecuación principal y obtendremos
dos ecuaciones con dos incógnitas:
3 = m · 1 + b,
5 = m · 2 + b.
Ahora, Cuando se
tienen dos puntos de una recta P1 (x1,
y1) y P2 (x2, y2), la pendiente,
que es siempre constante, queda determinada por el cociente entre la diferencia
de las ordenadas de esos dos puntos y la diferencia de las abscisas de los
mismos puntos, o sea, con la fórmula.
Entonces, a partir de
esta fórmula de la pendiente se puede también obtener la ecuación de la recta,
con la fórmula:
y
– y1 = m(x – x1)
Esta forma de obtener
la ecuación de una recta se suele utilizar cuando se conocen su pendiente y las
coordenadas de uno solo de sus puntos.
Entonces, la ecuación
de la recta que pasa por el punto P1 =
(x1, y1) y tiene la pendiente dada m, se establece de la siguiente manera:
y
– y1 = m(x – x1)
Ejemplo: Hallar la ecuación
de la recta que pasa por el punto A (2, – 4) y que tiene una pendiente de – 1/3. Al sustituir los datos en la ecuación,
resulta lo siguiente:
y – y1 = m(x – x1)
y – (–4) = – 1/3(x – 2)
3(y + 4) = –1(x – 2)
3y + 12 = –x + 2
3y +12 + x – 2 = 0
3y + x + 10 = 0
x + 3y + 10 = 0
Volviendo a la ecuación general de la recta (Ax + By + C = 0), en ella la pendiente (m) y el coeficiente de posición (b) quedan determinados por:
FORMULAS
1.
Calcular la pendiente de los segmentos
determinados por los siguientes pares de puntos:
·
(3,2) y (5,4)
2.
Calcular la distancia entre los siguientes
puntos:
·
(6,5) y (2,-3)
3.
Hallar el punto medio del segmento de recta que
une los siguientes puntos.
·
(-2,4) y (4,1)
4.
Calcular
la distancia entre los puntos y las rectas dadas:
·
(5,3) y 3x - 2y + 1 = 0
5. Obtener
en forma general la ecuación de la recta que pasa por los puntos.
·
(-2,5) y (3,-4)
6. Obtener
la ecuación principal de la recta que pasa por los puntos.
a.
(0,0) y (1,6)
7. Obtener
en forma general la ecuación de la recta que pasa por el punto (-1,2) y pendiente
es -3.
8. Señale
si las siguientes ecuaciones son paralelas o perpendiculares
·
6x-2y- 1=0 y 3x-y+2=0.
9. Obtener
en forma general la ecuación de la recta que satisfaga la condición dada.
·
Pasa por el punto (2,1) y su pendiente sea 12
Nota: Desarrollar el taller en
hojas cuadriculadas, hoja de portada y carpeta blanca.
1.
Calcular la pendiente de los segmentos
determinados por los siguientes pares de puntos:
a.
(4,1) y (6,3) b.
(-2,-5) y (-7, 5) c. (5,-1)
y (-5, 6)
2.
Calcular la distancia entre los siguientes
puntos:
a. (4,5) y (-1,1) c. (7,3) y (-1,-2) c. (0,9) y (0,-3)
3. Hallar
el punto medio del segmento de recta que une los siguientes puntos:
a. (-8,5) y (-1,0) b. (5,2) y (-10,0) c. (0,7) y (0,11)
4. Calcular
la distancia entre los puntos y las rectas dadas:
a. (1,4) y
5x-2y+8=0 b. (-5,-3) y 2x - 6y +
9 =0
5. Obtener
en forma general la ecuación de la recta que pasa por los puntos.
b.
(3,5) y (-1,2) c.
(5,7) y (3,9)
6. Obtener
la ecuación principal de la recta que pasa por los puntos.
a.
(1,6) (b) (1,2) y (0,5) b. (-3,1) y
(-2,3)
7.
Obtener en forma general la ecuación de la recta
que pasa por el punto (1,-2) y pendiente es 3.
8.
Señale si las siguientes ecuaciones son
paralelas o perpendiculares 6x-2y- 1=0 y 3x-y+2=0
9.
Señale si las siguientes ecuaciones son
paralelas o perpendiculares 3x-2y+ 10=0 y 2x+3y+3=0
10.
Dada la recta: kx- y= k+ 3, determine un valor
de k para que el punto (3, 7) pertenezca a dicha recta.
11.
Obtener en forma general la ecuación de la recta
que satisfaga la condición dada.
a.
Pasa por el punto (2,1) y su pendiente sea 12
b.
Pasa por el punto (3,5) y es paralela a la recta
x+ 3y+ 1=0.
c.
Pasa por el punto (-5,-2) y es perpendicular a
la recta 5x-3y=4
ENLACES
ENLACES
Nota: Los textos y videos utilizados en
este blog se tomaron de sitios especializados. Les agradecemos a los creadores
por su dedicación, profesionalismos y aporte a la educación.
TRIANGULOS: Teoremas, axiomas y postulados
1. Teoremas, axiomas y postulados
AXIOMA
Un
axioma es un enunciado simple que se acepta como una verdad universal
aplicables a todas las ciencias, en geometría, particularmente, son enunciados
intuitivamente evidentes. En matemática se distinguen dos tipos de axiomas: axiomas
lógicos y axiomas no-lógicos.
Ejemplo:
“Cosas iguales a una tercera son iguales entre sí”
POSTULADO
Un
postulado es un hecho no comprobable que se convierte en una verdad tácitamente
aceptada. Regularmente se identifica como parte de los fundamentos de la
estructura de alguna rama de las matemáticas, es decir, es la primera
afirmación lógica a partir de la cual se derivaran todas las demás afirmaciones
lógicas como consecuencia de una deducción o inducción.
Ejemplo:
“Un segmento de una recta puede ser construido en cualquier dirección a los
largo de una línea recta”
TEOREMA
Un
teorema es una afirmación que puede ser demostrada dentro de un sistema formal.
Demostrar teoremas
es un asunto central en la lógica y la matemática. Un
teorema generalmente posee un número de premisas que deben ser numeradas o
aclar
Nota: Cuando un enunciado requiere ser demostrado
se llama Teorema.
La Demostración es un razonamiento que
se hace para probar que un enunciado es verdadero y se clasifican en Método
Directo y Método Indirecto.
Método Directo: consiste en partir
de la hipótesis y llegar a la conclusión.
Método
Indirecto:
Parte de la negación de la conclusión para llegar a la negación de la
hipótesis.
Ejemplo: El enunciado denominado “Disección Perigal” para el teorema de Pitágoras es: “En
los triángulos rectángulos el cuadrado del lado que subtiende el ángulo recto
es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo recto. (Matemático
Ingles Henry Perigal)
Comprueba de manera sencilla el enunciado del teorema de Pitágoras Ver animación
2. ÁNGULOS
Un
ángulo es la unión de dos semirrectas, que tienen un punto común. Las
semirrectas son los lados del ángulo y el punto común el vértice del ángulo.
Afianza el tema – ver video
El tema del
ángulo y su clasificación se debe revisar en detalle el Libro de Matemáticas
Santillana Grado Octavo Páginas 256 y 257.
1.
Indica si es verdades o falsa cada afirmación.
a.
Los postulados son enunciados que deben comprobarse.
b.
Los axiomas son afirmaciones aceptadas como
verdaderas.
c.
Un axioma es igual a un postulado.
d.
Los teoremas se demuestran empelando el método
deductivo.
e.
Un teorema puede ser demostrado a partir de
axiomas y postulados.
2.
Identifica si los siguientes enunciados son
axiomas, postulados o teoremas
a)
Un plano contienen al menos tres puntos
distintos no colineales.
b)
Por un punto exterior a una recta pasa una y
solo una recta paralela a la recta dada.
c)
Si dos rectas distintas se intersecan
3.
Realizar los ejercicios del 1 al 10 y 17 al 20 de la página 258 del Libro de
Matemática Grado Octavo Santillana
Nota: Desarrollar el taller en el cuaderno de geometría
Clasificación de los ángulos – Afianza el conocimiento del tema – Ver Video
1.
Realizar los ejercicios del 11 al 16 y 21 al 30 de la página 258 del Libro de
Matemática Grado Octavo Santillana.
Nota: Desarrollar el taller en hojas
cuadriculadas, hoja de portada y carpeta blanca.
ENLACES
Nota: Los textos y videos utilizados en este blog se tomaron de libros y sitios especializados. Les agradecemos a los creadores por su dedicación, profesionalismos y aporte a la edición.
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